Kotak1 Kotak 2 Kotak 3 Urutan b p mbp m p b mpb m p bmp b p m bpm m b pmb p b m pbm Jumlah kemungkinan urutan berbeda dari penempatan b ola ke Kode buku di sebuah perpustakaan panjangnya 7 karakter, terdiri dari 4 huruf berbeda dan dii kuti dengan 3 angka yang berbeda pula? Penyelesaian : P (26, 4) u P (10,3) = 258.336.000 Sebuahbuku disewakan dengan harga Rp. 1.000 untuk 3 hari pertama dan untuk hari selanjutnya Rp. 600 per harinya. Berapa biaya yang diperlukan untuk mengecat dinding yang panjangnya 13 m dan tingginya 4 m, bila per meter persegi diperlukan biaya Rp 4.500 ? a. Rp 204.000,-b. Rp 216.000,- Flamboyan 1 kotak kue yang berisi 30 dus dengan Jawaban paling sesuai dengan pertanyaan 7. Sebuah kotak panjangnya 1(1)/(2) kali lebar dan 4(1)/(2) kali tingginy = 0,8 x 2 = 1,6 N Agar kotak tidak meluncur ke bawah atau tetap diam maka jumlah gaya yang bekeraja pada kotak harus sama dengan nol : Sebuah pegas yang panjangnya 20 cm digantungi beban sehingga panjangnya berubah menjadi 21 cm. Pada keadaan tersebut secara perlahan beban ditarik ke bawah hingga panjang pegas mencapai 22 cm. Setelah Untuk mengangkat beban 1.000 N digunakan tuas yang panjangnya 300 cm dan lengan beban 50 cm. Hitunglah gaya yang diperlukan mengangkat beban tersebut! Penyelesaian: Soal ini merupakan tuas jenis pertama, di mana titik tumpu berada di antara beban dan kuasa. HD Image Site - Cerita Yadong, FF Park Jimin •Revenge• (Eps 11), Park Elisa3, 11:41, PT11M41S, 16.04 MB, 31,357, 297, 0, 2022-05-21 12:16:34, 2023-02-13 00:15:46, cerita-yadong, HD Image Site , tel.security.comodo.com . #FF Park Jimin •Revenge• #Fanfiction Park Jimin •Revenge• (Eps. 11) [Sub Indo] 👋🏻 Annyeong Yeoreobun🤗 Back again on my channel "Park Elisa3" and in the . wariska500 Diket 1 ¹/² = 3/2 l = 9/2 t atau p = 9/2 t. 3/2 l = 9/2 t ~ l = 3 t3/2 l = 9/2 t ~ t = 3/2 l 9/2 = 1/3 lPanjang semua rusuk = 4p + 4l - 4t408 = 4. 3/2 l + 4lt + 4. 1/3l408 = 6l + 4l + 4/3l 10l + 4/3l = 408 30/3 + 4/3l = 408 34/3l = 408 l = 408 . 3/34 = 36p = 3/2l - 3/2 . 36 = 54l = l = 36 =36t = 1/3l = 1/3 . 36 = 12 Jadi, volume = = = cm³. 2 votes Thanks 4 zareena Makasih wariska500 iya sama-sama. ronirachmawan itu hasilnya harusnya 23328 wariska500 Oh iya maaf salah ngitung Pertemuan 14 Kombinatorial 1 Pendahuluan Sebuah kata-sandi password panjangnya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau angka. Berapa banyak kemungkinan kata-sandi yang dapat dibuat? abcdef aaaade a123fr … erhtgahn yutresik … ???? 2 Definisi Kombinatorial adalah cabang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya. 3 Kaidah Dasar Menghitung • Kaidah perkalian rule of product Percobaan 1 p hasil Percobaan 2 q hasil Percobaan 1 dan percobaan 2 p  q hasil • Kaidah penjumlahan rule of sum Percobaan 1 p hasil Percobaan 2 q hasil Percobaan 1 atau percobaan 2 p + q hasil 4 Perluasan Kaidah Dasar Menghitung Misalkan ada n percobaan, masing-masing dg pi hasil 1. Kaidah perkalian rule of product p1  p2  …  pn hasil 2. Kaidah penjumlahan rule of sum p1 + p2 + … + pn hasil 5 • Contoh 3. Bit biner hanya 0 dan 1. Berapa banyak string biner yang dapat dibentuk jika a panjang string 5 bit b panjang string 8 bit = 1 byte Penyelesaian a 2  2  2  2  2 = 25 = 32 buah b 28 = 256 buah 6 Contoh. Kata-sandi password sistem komputer panjangnya 6 sampai 8 karakter. Tiap karakter boleh berupa huruf atau angka; huruf besar dan huruf kecil tidak dibedakan. Berapa banyak kata-sandi yang dapat dibuat? Penyelesaian Jumlah karakter password = 26 A-Z + 10 0-9 = 36 karakter. Jumlah kemungkinan kata-sandi dengan panjang 363636363636 = 366 = 6 karakter Jumlah kemungkinan kata-sandi dengan panjang 7 karakter 36363636363636 = 367 = umlah kemungkinan kata-sandi dengan panjang 8 karakter 3636363636363636 = 368 = Jumlah seluruh kata-sandi kaidah penjumlahan adalah + + = buah. 7 Latihan 1. Berapa banyak bilangan ganjil 2-angka dengan setiap angka berbeda? 2. Dari buah bilangan bulat positif pertama, berapa banyak bilangan yang mengandung tepat 1 buah angka 3, 1 buah angka 4, dan 1 buah angka 5? 8 3. Tersedia 6 huruf a, b, c, d, e, f. Berapa jumlah pengurutan 3 huruf jika a tidak ada huruf yang diulang; b boleh ada huruf yang berulang; c tidak boleh ada huruf yang diulang, tetapi huruf e harus ada; d boleh ada huruf yang berulang, huruf e harus ada 4. Tentukan banyak cara pengaturan agar 3 orang mahasiswa Jurusan Teknik Informatika IF, 4 orang mahasiswa Teknik Kimia TK, 4 orang mahasiswa Teknik Geologi GL, dan 2 orang mahasiswa Farmasi FA dapat duduk dalam satu baris sehingga mereka dari departemen yang sama duduk berdampingan? 9 Prinsip Inklusi-Eksklusi Setiap byte disusun oleh 8-bit. Berapa banyak jumlah byte yang dimulai dengan „11‟ atau berakhir dengan „11‟? Penyelesaian Misalkan A = himpunan byte yang dimulai dengan „11‟, B = himpunan byte yang diakhiri dengan „11‟ A  B = himpunan byte yang berawal dan berakhir dengan „11‟ maka A  B = himpunan byte yang berawal dengan „11‟ atau berakhir dengan „11‟ A = 26 = 64, B = 26 = 64, A  B = 24 = 16. maka A  B = A + B – A  B = 26 + 26 – 16 = 64 + 64 – 16 = 112. 10 Permutasi Bola m b p Kotak 1 2 3 Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola ke dalam kotak-kotak tersebut? 11 Kotak 1 Kotak 2 Kotak 3 Urutan b p mbp p b mpb m p bmp p m bpm m b pmb b m pbm m b p Jumlah kemungkinan urutan berbeda dari penempatan bola ke dalam kotak adalah 321 = 3! = 6. 12 Definisi Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objekobjek. Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi kaidah perkalian. Misalkan jumlah objek adalah n, maka  urutan pertama dipilih dari n objek,  urutan kedua dipilih dari n – 1 objek,  urutan ketiga dipilih dari n – 2 objek, …  urutan terakhir dipilih dari 1 objek yang tersisa. Menurut kaidah perkalian, permutasi dari n objek adalah nn – 1 n – 2 … 21 = n! 13 Contoh Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata “HAPUS”? Penyelesaian Cara 1 54321 = 120 buah kata Cara 2 P5, 5 = 5! = 120 buah kata Contoh Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa? Penyelesaian P25, 25 = 25! 14 Permutasi r dari n elemen • Ada enam buah bola yang berbeda warnanya dan 3 buah kotak. Masingmasing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola. Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola ke dalam kotak-kotak tersebut? Bola m b p h k j Kotak Penyelesaian1 2 3 kotak 1 dapat diisi oleh salah satu dari 6 bola ada 6 pilihan; kotak 2 dapat diisi oleh salah satu dari 5 bola ada 5 pilihan; kotak 3 dapat diisi oleh salah satu dari 4 bola ada 4 pilihan. Jumlah urutan berbeda dari penempatan bola = 654 = 120 15 Perampatan Ada n buah bola yang berbeda warnanya dan r buah kotak r  n, maka kotak ke-1 dapat diisi oleh salah satu dari n bola  ada n pilihan ; kotak ke-2 dapat diisi oleh salah satu dari n – 1 bola  ada n – 1 pilihan; kotak ke-3 dapat diisi oleh salah satu dari n – 2 bola  ada n – 2 pilihan; … kotak ke-r dapat diisi oleh salah satu dari n – r – 1 bola  ada n – r + 1 pilihan Jumlah urutan berbeda dari penempatan bola adalah nn – 1n – 2…n – r – 1 16 Definisi Permutasi r dari n elemen adalah jumlah kemungkinan urutan r buah elemen yang dipilih dari n buah elemen, dengan r  n, yang dalam hal ini, pada setiap kemungkinan urutan tidak ada elemen yang sama. n! Pn, r  nn  1n  2...n  r  1 = n  r ! 17 Contoh Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka dari 5 angka berikut 1, 2, 3, 4 , 5, jika a tidak boleh ada pengulangan angka, dan b boleh ada pengulangan angka. Penyelesaian a Dengan kaidah perkalian 543 = 120 buah Dengan rumus permutasi P5, 3 = 5!/5 – 3! = 120 b Tidak dapat diselesaikan dengan rumus permutasi. Dengan kiadah perkalian 555 = 53 = 125. Contoh Kode buku di sebuah perpustakaan panjangnya 7 karakter, terdiri dari 4 huruf berbeda dan diikuti dengan 3 angka yang berbeda pula? Penyelesaian P26, 4  P10,3 = 18 Latihan 1. Sebuah mobil mempunyai 4 tempat duduk. Berapa banyak cara 3 orang didudukkan jika diandaikan satu orang harus duduk di kursi sopir? 19 Kombinasi • Bentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi, urutan kemunculan diabaikan. • Misalkan ada 2 buah bola yang warnanya sama 3 buah kotak. Setiap kotak hanya boleh berisi paling banyak 1 bola. Jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak = 3! P 3,2 P 3,2 1! 32    = 3. 2 2! 2! 2 20 a b 1 2 3 sama b a 1 2 3 1 a 2 b 3 hanya 3 cara sama 1 b 2 a 1 a 3 b 2 3 sama b a 21 1 2 3  Bila sekarang jumlah bola 3 dan jumlah kotak 10, maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah 10! P10,3 7! 1098   3! 3! 3! karena ada 3! cara memasukkan bola yang warnanya sama.  Secara umum, jumlah cara memasukkan r buah bola yang berwarna sama ke dalam n buah kotak adalah n n  1n  2...n  r  1 n! n  r! r! n  r ! = Cn, r atau   r 22 • Cn, r sering dibaca "n diambil r", artinya r objek diambil dari n buah objek. • Definisi 3. Kombinasi r elemen dari n elemen, atau Cn, r, adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen. 23 Interpretasi Kombinasi 1. Cn, r = banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari r elemen yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen. Misalkan A = {1, 2, 3} Jumlah Himpunan bagian dengan 2 elemen {1, 2} = {2, 1} {1, 3} = {3, 1} {2, 3} = {3, 2} 3 buah  3 3! 3!   3 buah atau     2  3  2!2! 1!2! 24 2. Cn, r = cara memilih r buah elemen dari n buah elemen yang ada, tetapi urutan elemen di dalam susunan hasil pemilihan tidak penting. Contoh Berapa banyak cara membentuk panitia komite, komisi, dsb yang beranggotakan 5 orang orang dari sebuah fraksi di DPR yang beranggotakan 25 orang? Penyelesaian Panitia atau komite adalah kelompok yang tidak terurut, artinya setiap anggota di dalam panitia kedudukannya sama. Misal lima orang yang dipilih, A, B, C, D, dan E, maka urutan penempatan masing-masingnya di dalam panitia tidak penting ABCDE sama saja dengan BACED, ADCEB, dan seterusnya. Banyaknya cara memilih anggota panitia yang terdiri dari 5 orang anggota adalah C25,5 = 53130 cara. 25 Contoh 9. Di antara 10 orang mahasiswa Teknik Informatika Angkatan 2002, berapa banyak cara membentuk sebuah perwakilan beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga a mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya; b mahasiswa bernama A tidak termasuk di dalamnya; c mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya, tetapi B tidak; d mahasiswa bernama B selalu termasuk di dalamnya, tetapi A tidak; e mahasiswa bernama A dan B termasuk di dalamnya; f setidaknya salah satu dari mahasiswa yang bernama A atau B termasuk di dalamnya. 26 Penyelesaian a C9, 4 = 126 cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakn 5 orang sedemikian sehingga A selalu termasuk di dalamnya. b C9, 5 = 126 cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakn 5 orang sedemikian sehingga A tidak termasuk di dalamnya. c C8, 4 = 70 cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga A termasuk di dalamnya, tetapi B tidak. d C8, 4 = 70 cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga B termasuk di dalamnya, tetapi A tidak. e C8, 3 = 56 cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakan 5 orang sedemikian sehingga A dan B selalu termasuk di dalamnya. 27 f Jumlah cara membentuk perwakilan sedemikian sehingga setidaknya salah satu dari A atau B termasuk di dalamnya = jumlah cara membentuk perwakilan sehingga A termasuk di dalamnya, B tidak + jumlah cara membentuk perwakilan sehingga B termasuk di dalamnya, A tidak + jumlah cara membentuk perwakilan sehingga A dan B termasuk di dalamnya = 70 + 70 + 56 = 196 Prinsip inklusi-eksklusi X = jumlah cara membentuk perwakilan yang menyertakan A Y = jumlah cara membentuk perwakilan yang menyertakan B X  Y = jumlah cara membentuk perwakilan yang menyertakan A dan B, maka X = C9, 4 = 126; Y = C9, 4 = 126;  X  Y = C8, 3 = 56; X  Y = X + Y - X  Y = 126 + 126 – 56 = 196 28 Latihan 1. Kursi-kursi di sebuah bioskop disusun dalam baris-baris, satu baris berisi 10 buah kursi. Berapa banyak cara mendudukkan 6 orang penonton pada satu baris kursi a jika bioskop dalam keadaan terang b jika bioskop dalam keadaan gelap 29 2. Ada 5 orang mahasiswa jurusan Matematika dan 7 orang mahasiswa jurusan Informatika. Berapa banyak cara membentuk panitia yang terdiri dari 4 orang jika a tidak ada batasan jurusan b semua anggota panitia harus dari jurusan Matematika c semua anggota panitia harus dari jurusan Informatika d semua anggota panitia harus dari jurusan yang sama e 2 orang mahasiswa per jurusan harus mewakili. 30 3. Berapa banyak cara membentuk sebuah panitia yang beranggotakan 5 orang yang dipilih dari 7 orang pria dan 5 orang wanita, jika di dalam panitia tersebut paling sedikit beranggotakan 2 orang wanita? 31 Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum Misalkan ada n buah bola yang tidak seluruhnya berbeda warna jadi, ada beberapa bola yang warnanya sama - indistinguishable. n1 bola diantaranya berwarna 1, n2 bola diantaranya berwarna 2,  nk bola diantaranya berwarna k, dan n1 + n2 + … + nk = n. Berapa jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam kotak-kotak tersebut tiap kotak maks. 1 buah bola? 32 Jika n buah bola itu kita anggap berbeda semuanya, maka jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam n buah kotak adalah Pn, n = n!. Dari pengaturan n buah bola itu, ada n1! cara memasukkan bola berwarna 1 ada n2! cara memasukkan bola berwarna 2 ada nk! cara memasukkan bola berwarna k Permutasi n buah bola yang mana n1 diantaranya berwarna 1, n2 bola berwarna 2, …, nk bola berwarna k adalah P n, n n! P n; n1 , n2 ,..., nk   n1! n2 !...nk ! n1! n2 !...nk ! 33 Jumlah cara pengaturan seluruh bola kedalam kotak adalah Cn; n1, n2, …, nk = Cn, n1 Cn – n1, n2 Cn – n1 – n2 , n3 … Cn – n1 – n2 – … – nk-1, nk n! n  n1 ! = n1!n  n1 ! n2 !n  n1  n2 ! n  n1  n2 ! n3!n  n1  n2  nk ! n  n1  n2  ...  nk 1 ! … nk !n  n1  n2  ...  nk 1  nk ! n! = n1!n2 !n3!...nk 34 Kesimpulan n! P n; n1 , n2 ,..., nk  C n; n1 , n2 ,..., nk  n1! n2 !...nk ! 35 Contoh 10. Berapa banyak “kata” yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf dari kata MISSISSIPPI? Penyelesaian S = {M, I, S, S, I, S, S, I, P , P , I} huruf M = 1 buah n1 huruf I = 4 buah n2 huruf S = 4 buah n3 huruf P = 2 buah n4 n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah = S Cara 1 Jumlah string = P11; 1, 4, 4, 2 11! = 1! 4! 4! 2!  34650 buah. Cara 2 Jumlah string = C11, 1C10, 4C6, 4C2, 2 11! 10! 6! 2! = 1!10! . 4! 6! . 4! 2! . 2! 0! 11! = 1! 4! 4! 2! = 34650 buah 36 Contoh 11. Berapa banyak cara membagikan delapan buah mangga kepada 3 orang anak, bila Billy mendapat empat buah mangga, dan Andi serta Toni masing-masing memperoleh 2 buah mangga. Penyelesaian n = 8, n1 = 4, n2 = 2, n3 = 2, dan n1 + n2 + n3 = 4 + 2 + 2 = 8 8!  420 cara Jumlah cara membagi seluruh mangga = 4! 2! 2! 37 Contoh 12. 12 buah lampu berwarna 4 merah, 3 putih, dan 5 biru dipasang pada 18 buah soket dalam sebuah baris sisanya 6 buah soket dibiarkan kosong. Berapa jumlah cara pengaturan lampu? Penyelesaian n = 18; n1 = 4, n2 = 3, n3 = 5, dan n4 = 6 socket kosong 18! Jumlah cara pengaturan lampu = cara 4!3!5!6! 38 Latihan 1. 100 orang mahasiswa dikirim ke 5 negara, masing-masing negara 20 orang mahasiswa. Berapa banyak cara pengiriman mahasiswa? 2. Berapa banyak string yang dapat dibentuk dari huruf-huruf kata “CONGRESS” sedemikian sehingga dua buah huruf “S” tidak terletak berdampingan? 39 3. Tentukan banyaknya cara agar 4 buku matematika, 3 buku sejarah, 3 buku kimia, dan 2 buku sosiologi dapat disusun dalam satu baris sedemikian sehingga untuk masing-masing soal a semua buku yang topiknya sama letaknya bersebelahan, b urutan buku dalam susunan bebas. 40 Kombinasi Dengan Pengulangan Misalkan terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dan n buah kotak. i Masing-masing kotak hanya boleh diisi paling banyak satu buah bola. Jumlah cara memasukkan bola Cn, r. ii Masing-masing kotak boleh lebih dari satu buah bola tidak ada pembatasan jumlah bola Jumlah cara memasukkan bola Cn + r – 1, r. Cn + r – 1, r = Cn + r –1, n – 1. 41 Contoh 13. Pada persamaan x1 + x2 + x3 + x4 = 12, xi adalah bilangan bulat  0. Berapa jumlah kemungkinan solusinya? Penyelesaian  Analogi 12 buah bola akan dimasukkan ke dalam 4 buah kotak dalam hal ini, n = 4 dan r = 12.  Bagilah keduabelas bola itu ke dalam tiap kotak. Misalnya, Kotak 1 diisi 3 buah bola x1 = 3 Kotak 2 diisi 5 buah bola x2 = 5 Kotak 3 diisi 2 buah bola x3 = 2 Kotak 4 diisi 2 buah bola x4 = 2 x1 + x2 + x3 + x4 = 3 + 5 + 2 + 2 = 12 Ada C4 + 12 – 1, 12 = C15, 12 = 455 buah solusi. 42 Contoh 14. 20 buah apel dan 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak, tiap anak boleh mendapat lebih dari 1 buah apel atau jeruk, atau tidak sama sekali. Berapa jumlah cara pembagian yang dapat dilakukan? Penyelesaian n = 5, r1 = 20 apel dan r2 = 15 jeruk Membagi 20 apel kepada 5 anak C5 + 20 – 1, 20 cara, Membagi 15 jeruk kepada 5 anak C5 + 15 – 1, 15 cara. Jumlah cara pembagian kedua buah itu adalah C5 + 20 – 1, 20  C5 + 15 – 1, 15 = C24, 20  C19, 15 43 Latihan 1. Ada 10 soal di dalam ujian akhir Matematika Diskrit. Berapa banyak cara pemberian nilai bilangan bulat pada setiap soal jika jumlah nilai keseluruhan soal adalah 100 dan setiap soal mempunyai nilai paling sedikit 5. Khusus untuk soal ini, nyatakan jawaban akhir anda dalam Ca, b saja, tidak perlu dihitung nilainya 2. 3. Di perpustakaan Teknik Informatika terdapat 3 jenis buku buku Algoritma dan Pemrograman, buku Matematika Diskrit, dan buku Basisdata. Perpustakaan memiliki paling sedikit 10 buah buku untuk masing-masing jenis. Berapa banyak cara memilih 10 buah buku? Dari sejumlah besar koin 25-an, 50-an, 100-an, dan 500-an, berapa banyak cara lima koin dapat diambil? 44 Koefisien Binomial x + y0 = 1 x + y1 = x + y x + y2 = x2 + 2xy + y2 x + y3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 x + y4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 x + y5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 1 3 6 10 1 4 10 5 1 1 n-1 1 n-k k x + yn = Cn, 0 xn + Cn, 1 x y + … + Cn, k x y +…+ n Cn, n yn =  C n, k xn-k yk k 0 Koefisien untuk xn-kyk adalah Cn, k. Bilangan Cn, k disebut koefisien binomial. 45 Segitiga Pascal 46 47 Contoh 15. Jabarkan 3x - 23. Penyelesaian Misalkan a = 3x dan b = -2, a + b3 = C3, 0 a3 + C3, 1 a2b1 + C3, 2 a1b2 + C3, 3 b3 = 1 3x3 + 3 3x2 -2 + 3 3x -22 + 1 -23 = 27 x3 – 54x2 + 36x – 8 48 Contoh 16. Tentukan suku keempat dari penjabaran perpangkatan x - y5. Penyelesaian x - y5 = x + -y5. Suku keempat adalah C5, 3 x5-3 -y3 = -10x2y3. n n C n , k  2 Contoh 17. Buktikan bahwa  . k 0 Penyelesaian Dari persamaan ambil x = y = 1, sehingga n  x + yn =  C n, k xn-k yk k 0 n n C n, k 1n-k 1k =  C n, k  1 + 1n =  k 0 k 0 n C n, k  2n =  k 0 49 Latihan Perlihatkan bahwa  2k Cn, k = 3n k=0 50 Pigeonhole Principle • Pigeonhole principle = prinsip sarang burung merpati 51 • Prinsip Sarang Merpati. Jika n + 1 atau lebih objek ditempatkan di dalam n buah kotak, maka paling sedikit terdapat satu kotak yang berisi dua atau lebih objek. Bukti Misalkan tidak ada kotak yang berisi dua atau lebih objek. Maka, total jumlah objek paling banyak adalah n. Ini kontradiksi, karena jumlah objek paling sedikit n + 1. Gambar Kandang merpati dengan 14 buah sarang pigeonhole dan 16 ekor merpati. 52 • Prinsip sarang merpati, jika diterapkan dengan baik, akan memberikan hanya objek-objek yang ada, dan bukan memberitahukan bagaimana mencari objek tersebut dan berapa banyak. • Pada masalah sarang burung merpati, prinsip ini tidak memberitahukan di sarang merpati mana yang berisi lebih dari dua ekor merpati. 53 Contoh 17. Dari 27 orang mahasiswa, paling sedikit terdapat dua orang yang namanya diawali dengan huruf yang sama, karena hanya ada 26 huruf dalam alfabet. Jika kita menganggap 27 huruf awal dari nama-nama mahasiswa sebagai merpati dan 26 huruf alfabet sebagai 26 buah lubang merpati, kita bisa menetapkan pemasangan 27 huruf awal nama ke 26 huruf alfabet seperti halnya pemasangan merpati ke sarang merpati. Menurut prinsip sarang merpati, beberapa huruf awal alfabet dipasangkan dengan paling sedikit dua huruf awal nama mahasiswa. 54 Contoh 18. Misalkan terdapat banyak bola merah, bola putih, dan bola biru di dalam sebuah kotak. Berapa paling sedikit jumlah bola yang diambil dari kotak tanpa melihat ke dalam kotak untuk menjamin bahwa sepasang bola yang berwarna sama terambil? Penyelesaian Jika setiap warna dianggap sebagai sarang merpati, maka n = 3. Karena itu, jika orang mengambil paling sedikit n + 1 = 4 bola merpati, maka dapat dipastikan sepasang bola yang berwarna sama ikut terambil. Jika hanya diambil 3 buah, maka ada kemungkinan ketiga bola itu berbeda warna satu sama lain. Jadi, 4 buah bola adalah jumlah minumum yang harus diambil dari dalam kotak untuk menjamin terambil sepasang bola yang berwarna sama. 55 Prinsip Sarang Merpati yang Dirampatkan. Jika M objek ditempatkan di dalam n buah kotak, maka paling sedikit terdapat satu kotak yang berisi minimal M/n objek. • Contoh 19. Di antara 50 orang mahasiswa, terdapat paling sedikit 50/12 = 5 orang yang lahir pada bulan yang sama. 56 •Contoh 20. Tinjau kembali Contoh 18. Berapa paling sedikit jumlah bola yang harus diambil dari dalam kotak sehingga 3 pasang bola yang setiap pasangnya berwarna sama terambil? Penyelesaian Tiga pasang bola yang setiap pasang berwarna sama berarti semuanya 6 buah bola. Pada masalah ini, n masih tetap sama dengan 3 yaitu jumlah warna, dan kita perlu mengambil paling sedikit M buah bola untuk memastikan bahwa M/3 = 6 bola mengandung setiap pasang bola yang berwarna sama. Nilai M = 3  5 + 1 = 16. Jika kita hanya mengambil 15 bola, maka mungkin saja hanya terambil 2 macam bola yang berwarna sama. Jadi, jumlah 16 buah bola adalah jumlah minimal yang perlu kita ambil dari dalam kotak untuk memastikan bahwa 3 pasang bola yang setiap pasang berwarna sama terambil. 57 16. Halimah membuat model balok padat yang terbuat dari bahan Gipsum dengan luas alas 200 cm2 dan tingginya 9 cm. Harga Gipsum per liter adalah Rupiah minimal uang Halimah yang harus dikeluarkan untuk membuat model balok adalah …. Jawaban C Pembahasan V balok = P x L x tVolume balok = 200×9Volume balok = 1800 cm3 1800 cm3 diubah ke dm31800/1000 = 1,8 dm31,8 dm3 × = 17. Sebuah kotak panjangnya 1 1/2 kali lebar dan 4 1/2 kali tingginya. jumlah semua rusuk 408 cm. Tentukan volume dan luas permukaannya bertutur-turut adalah …. Baca Juga Kunci Jawaban Matematika Kelas 7 Halaman 175 Kurikulum Merdeka Dasar dalam Melukis Jawaban A Pembahasan P = 3/2LL =2/3PP = 9/2TT = 2/9P 4P+L+T = Jumlah smua rusuk4p+ 2/3P +2/9p = 4089/9p+6/9p+2/9p = 408/417/9P = 102 P = 102 x 9/17 = 54cmL= 2/3P = 2/3 x 54=36cmT= 2/9P = 2/9 x 54 =12cm Volume = P x L xt = LP = 2PL+PT+LTLP = 2 = 2 = 18. Suatu kolam renang diisi penuh oleh air mempunyai ukuran panjang 20 m dan lebar 6 m. Kedalaman air pada ujung yang dangkal 1 m dan terus melandai sampai 4 m pada ujung yang paling dalam. Berapa literkah volume air dalam kolam? Baca Juga Rilis Terbaru Nokia XR21 Ponsel Badak dengan Layar 120Hz dan Snapdragon 685, Segini Harganya! Terkini P = 3/2 l = 9/2 tp = 3/2 l = l = p × 2/3p = 9/2 t = t = p × 2/9panjang kerangka = 4 p + l + t408 = 4 p + 2p/3 + 2p/9102 = p/1 + 2p/3 + 2p/9102 = 9p/9 + 6p/9 + 2p/9918 = 17pp = 918/17 = 54 cml = p × 2/3 = 54 × 2/3 = 36 cmt = p × 2/9 = 54 × 2/9 = 12 cmluas permukaan =2 pl + pt + lt2 54 × 36 + 54 × 12 + 36 × 122 1944 + 648 + 43223024 = 6048 cm2volume = p × l × t= 54 × 36 × 12= 1944 ×12= 23328 cm3 Uji Kompetensi 8 Halaman 216-217-218-219 A. Pilihan Ganda PG Bab 8 Bangun Ruang Sisi Datar Uji Kompetensi 8 Matematika MTK Kelas 8 SMP/MTS Semester 2 K13 A. Pilihan Ganda 1. Sebuah dadu dirancang sedemikian hingga jumlah angka pada alas dan atas selalu sama untuk setiap posisi dadu. Jaring-jaring dadu tersebut adalah …. Penyelesaian Jawaban yang paling tepat adalah D. karena satu sisinya juga berhadapan dengan sisi lainnya itu harus 7 jumlahnya. contoh alasnya 5 atapnya 2 belakangnya 6 dan depannya 1 [D] _____________________________ 2. Disediakan kawat yang panjangnya 6 m, akan dibuat kerangka balok berukuran 13 cm × 9 cm × 8 cm. Banyak kerangka balok yang dapat dibuat dari kawat tersebut adalah .... A. 3 buah C. 5 buah B. 4 buah D. 6 buah Penyelesaian Diket p = 13 cm l = 9 cm t = 8 cm panjang kawat 6 m jawaban 13 × 4 = 52 cm 9 × 4 = 36 cm 8 × 4 = 32 cm panjang kawat yang diperluka untuk membuat 1 balok adalah 52 + 36 + 32 = 120 cm 600 ÷120 = 5 balok panjang kawat yang dimiliki 600 cm maka balok yang dapat dibuat adalah sebanyak 5 buah. _____________________________ 3. Sebuah balok berukuran panjang = 3x + 2 cm, lebar = x + 5 cm, dan = 2x – 4 cm. Jika jumlah panjang rusuknya 156 cm, maka nilai x adalah .... A. 6 cm C. 8 cm B. 7 cm D. 9 cm Penyelesaian Panjang seluruh rusuk = 4panjang + lebar + tinggi 156 = 43x + 2 + x + 5 + 2x + -4 156 = 46x + 3 156 = 24x + 12 156 - 12 = 24x 144 = 24x 144 24 = x 6 = x _____________________________ 4. Aku adalah bangun ruang yang memiliki 5 sisi, 9 rusuk, dan 6 titik sudut. Aku adalah .... A. prisma segiempat C. limas segitiga B. prisma segitiga D. limas segiempat Penyelesaian Prisma Segitiga adalah bangun dengan 5 sisi, 9 rusuk dan 6 titik sudut. [B] _____________________________ 5. Jumlah panjang rusuk sebuah kubus adalah 96 cm. Luas permukaan kubus adalah … . A. 364 cm2 C. 486 cm2 B. 384 cm2 D. 512 cm2 Penyelesaian Ingat Pada Kubus terdapat 12 rusuk Maka ⇒ Jumlah Panjang Rusuk = 12 × S Sehingga Untuk Sisinya Jadi panjang sisinya 8 cm Maka Untuk > Luas Permukaan Kubus = 6 × S × S = 6 × 8 × 8 = 384 cm² _____________________________ 6. Suatu balok memiliki luas permukaan 516 cm2. Jika panjang dan lebar balok masing-masing 15 cm dan 6 cm, maka tinggi balok tersebut adalah .... A. 6 cm C. 8 cm B. 7 cm D. 9 cm Penyelesaian Dik Luas permukaan balok = 516 cm^2 Panjang = 15 cm lebar = 6 cm Dit tinggi balok jawab Luas permukaan = 2. + + 516 = 2. + + 516 = 2. 90 + 21t 516 = 180 + 42t 42t = 516 - 180 42t = 336 t = 336/42 t = 8 cm jadi tinggi balok tersebut adalah 8 cm _____________________________ 7. Alas sebuah prisma berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi 3 cm, 4 cm, dan 5 cm. Jika luas permukaan prisma adalah 108 cm2, maka tinggi prisma tersebut adalah .... A. 9 cm C. 7 cm B. 8 cm D. 6 cm Penyelesaian _____________________________ 8. Jika tinggi prisma adalah 20 cm. Luas permukaan prisma tersebut adalah .... A. 330 cm2 C. 550 cm2 B. 440 cm2 D. 660 cm2 Penyelesaian Luas segitiga = 1/2 × AC × BC = 1/2 × 12 cm × 5 cm = 30 cm² Luas selimut prisma = keliling segitiga × tinggi prisma = 12 + 5 + 13 cm × 20 cm = 30 cm × 20 cm = 600 cm² Menentuka luas permukaan prisma tegak segitiga Luas permukaan = 2 × luas segitiga + luas selimut prisma = 2 × 30 cm² + 600 cm² = 60 cm² + 600 cm² = 660 cm² Jadi luas permukaan prisma tersebut adalah 660 cm² _____________________________ 9. Alas sebuah limas beraturan berbentuk persegi dengan panjang sisi 5 cm dan tinggi segitiga bidang tegaknya 10 cm. Luas permukaan limas tersebut adalah .... A. 75 cm2 C. 125 cm2 B. 100 cm2 D. 150 cm2 Penyelesaian Diketahui s = a = 5 cm = 10 cm Ditanya ? Dijawab Luas permukaan limas = + 4 tegak = s x s + 4 1/2 x a x = 5 x 5 + 4 1/2 x 5 x 10 = 25 + 4 5 x 5 = 25 + 4 25 = 25 + 100 = 125 cm² Jadi, luas permukaan limas tsb adalah 125 cm² Jawabannya adalah C. 125 _____________________________ 10. Sebuah limas tingginya 8 cm dan tinggi rusuk tegaknya 10 cm. Jika alasnya berbentuk persegi maka luas permukaan limas adalah .... A. 348 cm2 C. 438 cm2 B. 384 cm2 D. 834 cm2 Penyelesaian _____________________________ 11. Sebuah balok berukuran panjang 12 cm, lebar 6 cm, dan tinggi 4 cm, maka luas permukaan balok adalah …. A. 488 cm2 C. 288 cm2 B. 388 cm2 D. 188 cm2 Penyelesaian Luas Permukaan = 2 x pxl + pxt + lxt Luas Permukaan = 2 x 12x6 + 12x4 + 6x4 Luas Permukaan = 2 x 72 + 48 + 24 Luas Permukaan = 2 x 144 Luas Permukaan = 288 cm² _____________________________ 12. Sebuah prisma alasnya berbentuk belahketupat dengan panjang diagonal 16 cm dan 12 cm. Luas permukaan prisma tersebut jika tingginya 12 cm adalah …. A. 726 cm2 C. 264 cm2 B. 672 cm2 D. 216 cm2 Penyelesaian _____________________________ 13. Jika luas permukaan kubus adaLah 96 cm2, maka panjang rusuk kubus tersebut adalah .... A. 4 cm C. 8 cm B. 6 cm D. 16 cm Penyelesaian luas permukaan kubus = 6 x s² = 96 s² = 96/6 s = √16 s = 4 cm _____________________________ 14. Volume balok yang berukuran 13 cm × 15 cm × 17 cm adalah …. A. cm3 C. cm3 B. cm3 D. cm3 Penyelesaian Diketahui p = 13 cm l = 15 cm t = 17 cm Ditanya V balok = ? Jawab V balok = p x l x t = 13 x 15 x 17 = 3315 cm^3 _____________________________ 15. Suatu prisma tegak yang alasnya merupakaN segitiga dengan panjang sisi-sisinya 3 cm, 4 cm, dan 5 cm. Jika panjang rusuk tegaknya 6 cm, maka volume prisma tersebut adalah .... A. 36 cm3 C. 72 cm3 B. 60 cm3 D. 90 cm3 Penyelesaian Dik. a = 3cm t△ = 4cm t prisma = 6 cm Dit. V = ? V = La x t = a x t/2 x t prisma = 3x4/2 x 6 = 36 cm3 _____________________________ 16. Halimah membuat model balok padat yang terbuat dari bahan Gipsum dengan luas alas 200 cm2 dan tingginya 9 cm. Harga Gipsum per liter adalah Rupiah minimal uang Halimah yang harus dikeluarkan untuk membuat model balok adalah .... A. C. B. D. Penyelesaian V balok = P x L x t V balok = 200x9 V balok = 1800 cm kubik 1800 cm3 diubah ke dm3 1800/1000 = 1,8 1, _____________________________ 17. Sebuah kotak panjangnya 1 1/2 kali lebar dan 4 1/2 kali tingginya. Jumlah semua rusuk 408 cm. Maka volume dan luas permukaannya bertuturturut adalah .... A. cm3 dan 6048 cm2 C. 6048 cm2 dan cm3 B. cm3 dan 4068 cm2 D. 8084 cm2 dan cm3 Penyelesaian P = 3/2L L =2/3P P = 9/2T T= 2/9P 4P+L+T = Jumlah smua rusuk 4p+ 2/3P +2/9p = 408 9/9p+6/9p+2/9p = 408/4 17/9P =102 P = 102 x 9/17 = 54cm L= 2/3P = 2/3 x 54=36cm T= 2/9P = 2/9 x 54 =12cm Vol = P x L xt = LP = 2PL+PT+LT = 2 = 2 = _____________________________ 18. Suatu kolam renang diisi penuh oleh air mempunyai ukuran panjang 20 m dan lebar 6 m. Kedalaman air pada ujung yang dangkal 1 m dan terus melandai sampai 4 m pada ujung yang paling dalam. Berapa literkah volume air dalam kolam? A. liter C. liter B. liter D. liter Penyelesaian Volume air = 1/2 x jumlah sisi sejajar x p x l = 1/2 x 1 + 4 x 20 x 6 = 1/2 x 5 x 20 x 6 = 300 m³ = liter _____________________________ 19. Tiga kubus berukuran 1 m3, 8 m3, dan 27 m3 ditumpuk seperti tampak pada gambar di samping. Tentukan jumlah luas permukaan tumpukan. A. 46 m2 B. 54 m2 C. 56 m2 D. 64 m2 Penyelesaian [TIDAK ADA JAWABAN] Diketahui Volume kardus 1 = 27 cm³ Volume kardus 2 = 8 cm³ Volume kardus 3 = 1 cm³ Ditanya Luas permukaan tumpukan kardus Pembahasan Pertama-tama karena yang diketahui adalah volume kubus maka kita harus mencari panjang rusuk dari masing masing kardus dengan cara sebagai berikut V kardus 1 = sisi kardus 1 x sisi kardus 1 x sisi kardus 1 27 cm³ = sisi kardus 1³ sisi kardus 1 = sisi kardus 1 = 3 cm setelah mendapatkan panjang sisi kardus 1, kita cari panjang sisi kardus 2 dengan cara yang sama seperti berikut V kardus 2 = sisi kardus 2 x sisi kardus 2 x sisi kardus 2 8 cm³ = sisi kardus 2³ sisi kardus 2 = sisi kardus 2 = 2 cm setelah mendapatkan panjang sisi kardus 1, kita cari panjang ssi kardus 2 dengan cara yang sama seperti berikut V kardus 3 = sisi kardus 3 x sisi kardus 3 x sisi kardus 3 1 cm³ = sisi kardus 1³ sisi kardus 1 = sisi kardus 1 = 1 cm Setelah mendapatkan panjang sisi kardus dari masing-masing kubus, panjang rusuk kubus 1 = 3 cm ; panjang rusuk kubus 2 = 2 cm ; panjang rusuk kubus 3 = 1 cm, maka kita bisa mencari luas permukaan tumpukan kardus. Untuk mencari luas permukaan tumpukan kardus adalah mencari luas permukaan masih masing kardus perhitungan ini tidak termasuk permukaan yang tidak terlihat / permukaan yang tertumpuk, tapi termasuk menghitung alas tumpuan kardus pada lantai i luas permukaan kardus 1 luas permukaan kardus 1 = 5 x luas sisi kardus 1 + luas sisi kardus 1 - luas sisi kardus 2 luas permukaan kardus 1 = 5 x 3 cm x 3 cm + 3 cm x 3 cm - 2 cm x 2 cm luas permukaan kardus 1 = 45 cm² + 9 cm² - 4 cm² luas permukaan kardus 1 = 50 cm² ii luas permukaan kardus 2 luas permukaan kardus 2 = 4 x luas sisi kardus 2 + luas sisi kardus 2 - luas sisi kardus 3 luas permukaan kardus 2 = 4 x 2 cm x 2 cm + 2 cm x 2 cm - 1 cm x 1 cm luas permukaan kardus 2 = 16 cm² + 4 cm² - 1 cm² luas permukaan kardus 2 = 19 cm² iii luas permukaan kardus 3 luas permukaan kardus 3 = 5 x luas sisi kardus 3 luas permukaan kardus 3 = 5 x 1 cm x 1 cm luas permukaan kardus 3 = 5 cm² baru setelah itu bisa mencari luas permukaan tumpukan kardus seperti beriut ini luas permukaan tumpukan kardus = luas permukaan kardus i + luas permukaan kardus ii + luas permukaan kardus iii luas permukaan tumpukan kardus = 50 cm² + 19 cm² + 5 cm² luas permukaan tumpukan kardus = 74 cm² Jadi, didapatkan bahwa total luas permukaan tumpukan kardus tersebut adalah 74 cm² _____________________________ 20. Kubus mempunyai panjang rusuk 2 satuan. Titik O adalah titik potong dua diagonal pada bidang BCFG. Jarak titik O ke bidang BCEH adalah .… satuan. OSK SMP 2014 Penyelesaian misalkan titik tengah BC = K titik potong dua diagonal BCEH = L bisa kita buat segitiga siku-siku OKL siku di O dengan M adalah titik tengah KL jarak titik O ke BCEH itu dari O ke M artinya OM tegak lurus terhadap KL Berarti luas segitiga tersebut bisa dicari dengan Dua cara OK × OL/2 atau OM × KL/2 OK = OL = 1 setengah dari rusuk kubus menurut Pythagoras KL = √2 OK × OL/2 = OM × KL/2 1/2 = OM√2/2 OM√2 = 1 OM = 1/√2 OM = √2/2 satuan D. √2/2 _____________________________

sebuah kotak panjangnya 1 1 2